El álgebra comienza a ampliarse a elementos que no son necesariamente los números reales y las cuatro operaciones aritméticas.

• William Rowan Hamilton (Irlanda; 1805 - 1865) elabora un álgebra no conmutativa basada en la manipulación de números complejos en tres dimensiones, a los que llama "cuaterniones".

• Hermann Grassmann (Alemania; 1809 - 1875) elabora un álgebra hipercompleja, no conmutativa ni asociativa, a la que denomina "teoría de las extensiones".

• George Boole (Gran Bretaña; 1815 - 1864) desarrolla una serie de símbolos aplicables a operaciones lógicas, creando una estructura algebraica que se denominará "lógica matemática" o "álgebra de Boole".

• Arthur Cayley (Gran Bretaña; 1821 - 1895) formula el álgebra de las matrices, definidas como un cuadro de coeficientes dispuestos en filas y columnas.

• Gottlob Frege (Alemania; 1848 - 1925) mejora la lógica simbólica de George Boole e intenta aplicarla a la aritmética para construir una estructura matemática completa, pero no logra su propósito.