• Bernard Bolzano (Checoslovaquia; 1781 -1849) realiza un estudio riguroso de las funciones continuas, preconizando el rigor en el análisis.

• Agustin Louis Cauchy (Francia; 1789 - 1857) fundamenta el cálculo infinitesimal en el concepto de límite, utilizando deducciones claras, concisas y rigurosas.

• Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Alemania; 1805 - 1859) da una definición general de función.

• Hermann Hankel (Alemania; 1839 - 1873) señala que la condición para construir una aritmética universal es considerar a los números reales como estructuras intelectuales y no como magnitudes geométricas inductivas.

• Karl Weierstrass (Alemania: 1815 -1897) prescinde de la intuición geométrica y define de forma precisa el límite de una función.

• Richard Dedekind (Alemania; 1831 - 1916) define el número real como una cortadura en el conjunto de los números racionales, dando a los números reales una interpretación en forma de línea recta.

• Georg Cantor (Rusia; 1845 - 1918) identifica los números reales con sucesiones convergentes de números racionales, demostrando la no equivalencia de ambos conjuntos y la existencia de distintos tipos de infinito.

Se logra la aritmetización definitiva del análisis matemático, es decir, se considera la operación de paso al límite junto con las demás operaciones aritméticas.