Durante veinte siglos el sistema geométrico de Euclides permanece intocable; pero su quinto teorema ("por un punto que no está contenido en una recta dada sólo puede trazarse una paralela a ella") no parece completamente evidente.

• Nikolai Ivanovich Lobachevski (Rusia; 1793 - 1856) establece como axioma que por un punto que no está contenido en una recta dada pueden trazarse infinitas rectas paralelas a ella, lo que le lleva a una nueva geometría, no euclidiana, en la que la suma de los tres ángulos de un triángulo es menor de 180º (esta geometría se produce sobre la superficie de un hiperboloide).

• Johann Karl Friedrich Gauss y Janos Bolyai (Hungría; 1802 - 1860) construyen, independientemente, geometrías similares; el primero no se atreve a publicarla, el segundo lo hace más tarde.

• Georg Friedrich Bernhard Riemann (Alemania; 1826 - 1866) establece como axioma que por un punto que no está contenido en una recta dada no puede trazarse ninguna recta paralela a ella, lo que le lleva a una nueva geometría, no euclidiana, en la que la suma de los tres ángulos de un triángulo es mayor de 180º (esta geometría se produce sobre la superficie de una esfera).