TEMA II:

BALANCES MICROSCÓPICOS

Los balances microscópicos permiten estudiar cuestiones que no resuelven los balances macroscópicos: perfiles de concentración, temperatura, velocidad.

Sólo son aplicables en régimen laminar y dan lugar a ecuaciones diferenciales (hay que buscar la simplicidad del problema).

Los balances microscópicos parten de la ecuación general:

y permiten obtener ecuaciones simplificadas de algunas situaciones representativas.

La obtención de ecuaciones finales se basa en los siguientes puntos:

• Formular la ecuación de conservación correspondiente.
• Elegir un sistema de coordenadas según la geometría del sistema.
• Simplificar las ecuaciones de acuerdo con la simetría y con los límites físicos del sistema.
• Formular las condiciones límite de integración de las ecuaciones diferenciales; siempre han de ser dos por cada dirección que intervenga. Generalmente se utilizan dos tipos de condiciones límite:

• Integrar las ecuaciones diferenciales para obtener los perfiles y, en su caso, las densidades de flujo.

Obtención de las ecuaciones de conservación del componente i y de materia total (ecuación de continuidad).

Simplificación a régimen estacionario sin reacción química de un fluido incompresible (densidad constante) de difusividad constante.

Estudio de dos casos prácticos:

• Contradifusión equimolar: Comportamiento de los poros de un catalizador.
• Difusión de un componente a través de otro estacionario: Determinación de la difusividad de sistemas gaseosos.

Significado de los términos de la ecuación general:

Definición de velocidades medias de desplazamiento del fluido:

• Velocidad media másica, v, o velocidad de desplazamiento de un plano a través del cual el flujo másico neto es nulo:

• Velocidad media molar, v^*, o velocidad de desplazamiento de un plano a través del cual el flujo molar neto es nulo:

Densidades de flujo de materia respecto a coordenadas fijas:

Densidades de flujo de materia respecto a velocidades medias:

Sustituyendo en la ecuación [II.1], se tendrá, en unidades másicas, la ecuación microscópica del conservación del componente i (velocidades medias y coordenadas fijas):

Sustituyendo en la ecuación [II.1], se tendrá, en unidades molares, la ecuación microscópica del conservación del componente i (velocidades medias y coordenadas fijas):

Se tendrá la ecuación microscópica de conservación de la materia total, o ecuación de continuidad (componentes másicos y molares):

Régimen estacionario sin reacción química: Acumulación y generación nulas.

Densidad constante: Ecuación de continuidad se simplifica a:

Densidad de flujo (difusividad constante): Ley de Fick:

Sustituyendo en la ecuación [II.9, II.37]:

Simplificando con la ecuación de continuidad:

Dos gases A y B se difunden (difusividad constante) desde sendos depósitos a través de una conexión, a lo largo de la cuál la concentración total y la presión no varían, pero sí la composición (Figura II.1); se desea obtener el perfil de concentración y el flujo de A a través de la conexión.

Por tanto:

Lo que da el nombre de "contradifusión equimolar" a este fenómeno.

Se aplicará un balance de materia (componente A) en coordenadas rectangulares, teniendo en cuenta:

• La velocidad global es nula.
• La concentración sólo varía con la coordenada x.

La ecuación diferencial simplificada es:

Que habrá que integrar con la condiciones límite:

El flujo de A a través de la conexión se obtendrá a partir de la ley de Fick:

Una fase líquida es capaz de absorber sólo el componente A de una mezcla gaseosa formada por A y B que está en contacto con el líquido, por lo que se producirá sólo la difusión de A (difusividad constante) a través de la película gaseosa (Figura II.2); se desea obtener el perfil de concentración y el flujo de A a través de la película gaseosa.

• La concentración sólo varía con la coordenada x.
• La única componente no nula de la velocidad es la de la dirección del flujo, es decir, x.

La ecuación del componente A simplificada será:

La velocidad media molar habrá de ponerse en función de las otras variables.

A partir de la densidad de flujo de B, y teniendo en cuenta que se trata de una mezcla binaria en la que B no se difunde, puede llegarse a:

Se llega así a la ecuación diferencial:

Que habrá que integrar con las condiciones límite:

El flujo de A a través de la película puede obtenerse a partir de la ley de Fick, operando convenientemente:

Esta ecuación a veces se usa de la forma:

siendo la concentración media logarítmica del componente B:

Obtención de la ecuación de conservación de la energía total.

Simplificación a régimen estacionario de un sólido (término de velocidad nulo) de conductividad constante.

Estudio de dos casos prácticos:

• Conducción de calor a través de paredes planas compuestas: Cálculo de aislamientos térmicos de hornos.
• Conducción de calor a través de paredes cilíndricas compuestas: Cálculo de aislamientos térmicos de tuberías o reactores tubulares.

Significado de los términos de la ecuación general:

Sustituyendo en la ecuación [II.1] se tendrá la ecuación microscópica de conservación de la energía total:

Régimen estacionario: Acumulación nula.

Sólido: Términos de velocidad nulos.

La ecuación de conservación de la energía total se simplifica a:

Densidad de flujo (conductividad constante): Ley de Fourier:

Obteniéndose finalmente:

Una pared plana está compuesta por tres materiales de distinto espesor, diferentes conductividades térmicas (constantes) y sus lados externos están a distintas temperaturas, por lo que el calor fluye a través de la pared (Figura II.3); se desea obtener el perfil de temperatura en el interior de la pared y el caudal de calor que la atraviesa, en estado estacionario.

• La temperatura sólo varía con la coordenada x.
• En estado estacionario, el calor que atraviesa la pared es el mismo en todos sus puntos, por lo que puede centrarse el estudio en una sola sección.

La ecuación diferencial simplificada será:

Que habrá que integrar con las condiciones límites para la primera sección:

El caudal de calor que atraviesa la pared se obtendrá a partir de la ley de Fourier aplicada a la primera sección:

Como el caudal de calor es el mismo en todas las secciones:

o bien, en forma de ley de Ohm, considerando sistemas en serie:

Una pared cilíndrica está compuesta por tres materiales de distinto espesor, diferentes conductividades térmicas (constantes) y sus superficies interior y exterior están a distintas temperaturas, por lo que el calor fluye a través de la pared (Figura II.4); se desea obtener el perfil de temperatura en el interior de la pared y el caudal de calor que la atraviesa.

• La temperatura sólo varía con la coordenada r.
• En estado estacionario, el calor que atraviesa la pared es el mismo en todos sus puntos, por lo que puede centrarse el estudio en una sola sección.

La ecuación diferencial simplificada será:

Que habrá que integrar con las condiciones límite para la primera sección:

Se obtendrá así, para el perfil de temperatura:

Es frecuente expresar esta ecuación en función del espesor y del área media logarítmica:

que se define como:

Como el caudal de calor es el mismo en todas las secciones:

Obtención de la ecuación de conservación de cantidad de movimiento.

Simplificación a régimen estacionario de un fluido incompresible (densidad constante) de viscosidad constante.

Estudio de dos casos prácticos:

• Descenso de una película líquida por una pared vertical: Aplicación de capas de pintura sobre superficies sólidas.
• Circulación de un líquido por un tubo horizontal: Transporte de fluidos viscosos (lubricantes, sangre) por conducciones.

Significado de los términos de la ecuación general:

Sustituyendo en la ecuación [II.1] se tendrá la ecuación microscópica de conservación de cantidad de movimiento:

Régimen estacionario: Acumulación nula.

Densidad constante: Aplicable la ecuación de continuidad:

Densidad de flujo (viscosidad constante): Ley de Newton:

Obteniéndose finalmente:

Un fluido de viscosidad y densidad constantes desciende en forma de película de espesor e y anchura L por una pared vertical en estado estacionario (Figura II.5); se desea obtener el perfil de velocidad en el interior de la película, y el caudal volumétrico de la misma.

• La única componente no nula de la velocidad es v_z.
• La velocidad v_z sólo varía con la coordenada x.
• Al estar el sistema abierto a la atmósfera, no hay variaciones de presión.
• El vector fuerza de gravedad coincide con su componente z en módulo, dirección y sentido.

Matemáticamente:

La ecuación diferencial simplificada será:

Que habrá que integrar con las condiciones límite:

Como la velocidad media se define de la forma:

se podrá poner:

Como el caudal volumétrico está definido como:

se obtendrá finalmente para la expresión del caudal volumétrico:

Un líquido de viscosidad y densidad constantes fluye por un tubo horizontal de radio R y longitud L (Figura II.6); se desea obtener el perfil de velocidad en el interior del tubo y el caudal volumétrico en el mismo.

• La única componente no nula de la velocidad es v_z.
• La velocidad v_z sólo varía con la coordenada r.
• Al moverse el fluido en una sola dirección, la perdida de presión se producirá sólo en esa dirección.
• Al estar el sistema en posición horizontal, no influirá sobre él la fuerza de la gravedad.

Matemáticamente:

La ecuación diferencial simplificada será:

Como la presión sólo varía a lo largo del tubo, puede usarse esta ecuación de la forma:

Que habrá que integrar con las condiciones límite:

Como la velocidad media se define como:

y el caudal volumétrico está definido como:

Se obtendrá finalmente para la expresión del caudal volumétrico, la expresión conocida como ecuación de Hagen-Poiseuille: