TEMA 2:

ECUACIONES DE CONSERVACIÓN

Ecuación de conservación genérica para las tres propiedades extensivas (materia, energía, momento):

Aplicarla al elemento que se indica en la Figura 2.1.

Acumulación:

Salida neta (E - S), debida a la circulación del fuido (transporte másico o flujo advectivo) o al potencial impulsor (que origina un flujo):

Generación:

Sustituyendo términos en [2.1]:

Ecuación general para aplicación microscópica o macroscópica, aplicando condiciones límites para facilitar su resolución.

2.2 Análisis microscópico

Integrando [2.5] transformada a integrales de volumen (teorema de Gauss-Ostrogradskii):

Cuando la velocidad de un fluido no es nula, pueden darse distintas condiciones de circulación (Reynolds, 1883), según muestra la Figura 2.2:

Definición de regímenes de circulación del fluido y los mecanismos de transporte de las propiedades extensivas:

• Régimen laminar: Velocidad baja del fluido, sus partículas circulan en trayectorias paralelas, no hay mezcla macroscópica y las moléculas se desplazan debido al gradiente de concentración de propiedad (transporte molecular).
• Régimen turbulento: Velocidad alta del fluido, sus partículas se desplazan en todas direcciones, hay mezcla de grupos de moléculas al azar y los grupos de moléculas se desplazan debido a una contribución adicional dominante, superpuesta al transporte molecular (transporte convectivo).

Los regímenes de circulación se distinguen mediante el módulo de Reynolds, cociente entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de rozamiento:

Para régimen laminar predomina el rozamiento, y Re < 2.100.

Para régimen turbulento predomina la inercia, y Re > 10.000.

2.2.2.1 Transporte molecular: propiedades de transporte

En régimen laminar se produce transporte molecular, definido mediante la ecuación cinética genérica:

Materia: Ley de Fick

Energía: Ley de Fourier

Cantidad de movimiento: Ley de Newton

Ecuaciones generalizables a las tres dimensiones para sustituirla en la ecuación de conservación microscópica, [2.6]:

Simplificando la ecuación de conservación para régimen laminar pueden obtenerse en algunos casos los valores de concentración, temperatura o velocidad en todos los puntos del sistema.

En régimen turbulento se produce transporte convectivo, que obliga a un análisis empírico formalmente similar al del transporte molecular, [2.8], definiendo el coeficiente de transporte individual (referido a una sola fase):

Materia (Coeficiente individual de transferencia de materia):

Energía (Coeficiente individual de transmisión de calor):

Cantidad de movimiento (Factor de rozamiento superficial):

Resistencias en serie (la resistencia interfacial se desprecia porque puede considerarse en equilibrio) producen un flujo:

Se define un coeficiente de transporte global, basado en la suma de resistencias:

Se aplica la ecuación general de conservación:

Se aplica a un sistema genérico como el de la Figura 2.4:

Se obtiene la ecuación de conservación macroscópica:

Aplicación de la ecuación [2.20] a un componente i:

Resultando:

Simplificaciones:

• No hay flujo de materia a través de S.
• El transporte molecular a través de S₁ y S₂ es despreciable cuando hay movimiento del fluido.

Resulta la ecuación macroscópica de conservación del componente i:

Resulta la ecuación macroscópica de conservación de la materia total:

Desaparece el término de generación, ya que la materia total generada en el sistema es nula en unidades másicas; en unidade molares podría permanecer, ya que el número total de moles no necesariamente se conserva.

Aplicación de la ecuación [2.20] con los siguientes términos:

Resultando:

Simplificaciones:

• El transporte molecular a través de S₁ y S₂ es despreciable cuando hay movimiento del fluido.
• El flujo de calor a través de S se representa por Q.

Resulta la ecuación macroscópica de conservación de la energía total:

Aplicación de la ecuación [2.20] con los siguientes términos:

Resultando:

Simplificaciones:

• El transporte molecular a través de S₁ y S₂ es despreciable cuando hay movimiento del fluido.

Resulta la ecuación macroscópica de conservación de cantidad de movimiento (balance de fuerzas), cuya aplicación es muy poco frecuente: